🎂 誕生日の一致確率（バースデーパラドックス）
何人集まれば、誰かの誕生日が重なるでしょうか。人数を入れると「少なくとも2人の誕生日が一致する確率」を計算します。23人で約50.7%という、直感に反する結果を早見表と解説つきで確認できます。うるう年366日や任意の日数にも対応。すべてブラウザ内で計算し、入力は送信しません。
入力
少なくとも2人の誕生日が一致する確率
—
確率がこの値を超える人数
早見表（人数と一致確率）
なぜ直感に反するのか
「自分と同じ誕生日の人」を探すと、相手は364/365でほぼ外れるため、数十人では滅多に見つかりません。ところがこの問題が問うのは「誰か2人のペアが一致するか」で、比べるペアの数がぐっと増えます。
n人から選べるペアの数は n×(n−1)÷2 通り。23人ならなんと 253ペア にもなります。1組ごとの一致確率は1/365と小さくても、253組も比べれば「どこか1組は一致する」確率は五分五分に届きます。これが「23人で約50.7%」の正体です。
計算式は、逆に「全員バラバラ（誰も重ならない）確率」を求めて1から引きます。
P(一致) = 1 − (365/365)×(364/365)×(363/365)×…×((365−n+1)/365)。人を1人足すたびに「まだ空いている日」が減るので、重ならない確率は急速にしぼみ、一致確率は一気に立ち上がります。
解説
バースデーパラドックス（誕生日のパラドックス）は、「たった23人集まれば、その中に誕生日が同じ2人がいる確率が50%を超える」という、直感に反する有名な確率の問題です。365日もあるのだから誕生日が同じ確率なんて滅多にないはず——と感じますが、実際にはかなりの確率で重なります。本ツールは人数を入れるだけで、少なくとも2人の誕生日が一致する確率を正確に計算し、早見表としきい値、そしてなぜそうなるのかの解説まで一度に確認できます。「同じ誕生日の確率」を人数ごとに具体的な数字で確かめたいときに使えます。
n人の中に同じ誕生日のペアがいる確率は、式で書くと P(一致)=1 − 365!/((365−n)!×365^n) です。これは「全員の誕生日がバラバラ（誰も重ならない）確率」を1から引いた形で、積の形にすると 1 −(365/365)×(364/365)×(363/365)×…×((365−n+1)/365) と同じになります。1人目は好きな日でよく、2人目は残り364/365、3人目は363/365……と、人が増えるたびに「まだ空いている日」が減っていきます。本ツールはこの積をそのまま計算するため、巨大な階乗の桁あふれを避けて正確な値が出ます。
まず基本として、特定の2人が同じ誕生日になる確率は 1/365 ≒ 0.27% で、確かにとても小さい値です。しかし人数が増えると、確率は一気に立ち上がります。本ツールの式で計算すると、10人で約11.7%、20人で約41.1%、22人で約47.6%、そして23人で約50.7%となり、ここで初めて50%（五分五分）を超えます。さらに30人で約70.6%、40人で約89.1%、50人で約97.0%、57人で約99.0%と急上昇します。
直感とずれる理由は、比べる相手の数にあります。「自分と同じ誕生日の人」を探すのではなく、「誰か2人のペアが一致するか」を問うため、n人なら n×(n−1)÷2 通りものペアを同時に比べていることになります。23人なら253ペア。1組ごとの一致は1/365と小さくても、253組もあれば「どこか1組は重なる」確率は五分五分に届きます。人数を1人足すと比較ペアが一気に増えるので、確率は急な立ち上がりを見せます。
この253ペアという数字は、しばしば見かける近似式 1 −(364/365)^253 の由来でもあります。「1組が一致しない確率 364/365」を、253組ぶん独立に掛け合わせた（(364/365)を253乗した）という見立てで、計算すると (364/365)^253 ≒ 0.4995、つまり一致確率は約50.05% となります。厳密な式（約50.73%）とはわずかにずれますが、これはペアどうしが完全には独立でないためです。おおまかに「なぜ23人で半々になるのか」をつかむには十分わかりやすい近似です。
日数（パターン数D）は自由に変えられます。うるう年を含めるなら366、平均的な扱いにするなら365.25。また、誕生日に限らず「等確率のD通りから、n個引いたときに同じものが重なる確率」という一般的な問題（誕生日攻撃・ハッシュ衝突の直感的な目安など）にも応用できます。ただし現実の誕生日は日付ごとに人数の偏り（特定の月に多いなど）があり、実際の一致確率は理論値よりわずかに高くなる傾向があります。本ツールは「各日が等確率」という理想化した前提での目安値です。すべての計算はブラウザ内で完結し、入力はどこにも送信されません。
よくある質問
◯人いると、同じ誕生日の人がいる確率はどれくらいですか？
365日・各日等確率で計算すると、少なくとも2人の誕生日が一致する確率は、10人で約11.7%、20人で約41.1%、23人で約50.7%、30人で約70.6%、40人で約89.1%、50人で約97.0%です。人数を入力すれば、任意の人数での確率と早見表がすぐ表示されます。
23人で同じ誕生日の確率が50%を超えるのはなぜですか？
比べているのが「自分と同じ誕生日の人」ではなく「誰か2人のペアが一致するか」だからです。23人からできるペアは 23×22÷2＝253組もあり、1組ごとの一致は1/365と小さくても、253組あれば『どこか1組は重なる』確率は約50.7%に届きます。22人では約47.6%でまだ届かず、23人で初めて50%を超えます。
特定の2人が同じ誕生日になる確率は？
2人だけを比べる場合、片方の誕生日に対してもう片方が一致する確率は 1/365 ≒ 0.27% です（うるう年を無視した365日前提）。とても小さい値ですが、人数が増えて比べるペアが増えると、全体で『誰かが重なる』確率は急激に大きくなります。
(364/365)^253 という式は何を表していますか？
23人からできる253ペアが「どれも一致しない」確率を、近似的に見積もった式です。1組が一致しない確率 364/365 を253組ぶん掛け合わせた（253乗した）もので、(364/365)^253 ≒ 0.4995。よって一致する確率は 1−0.4995＝約50.05% と求まります。厳密な式では約50.73%で、ペアどうしが完全には独立でないぶん少しずれますが、直感をつかむ近似としてよく使われます。
何人集まれば90%を超えますか？
365日の場合、41人で約90.3%となり90%を超えます。40人ではまだ約89.1%です。人数が増えるほど確率の上がり方はゆるやかになりますが、それでも直感よりずっと少ない人数で高確率に達します。
何人集まればほぼ確実（99%以上）になりますか？
365日の場合、57人で約99.01%となり99%を超えます。70人では約99.92%、100人では約99.99997%です。人数が日数の365を超える366人以上では、鳩の巣原理で必ずどこかが重なり100%になります。
『自分と同じ誕生日の人がいる確率』とは違うのですか？
違います。このツールが計算するのは『誰か2人のペアが一致する確率』です。『自分と同じ誕生日の人が1人でもいる確率』は別問題で、23人（自分以外22人）なら 1−(364/365)^22 ≒ 約5.9% とずっと低くなります。比べる相手の数が段違いなので、結果も大きく変わります。
うるう年（2月29日）はどう扱いますか？
既定では365日で計算しています。うるう年を含めたい場合は日数（D）を366に、平均的に扱いたい場合は365.25に変更してください。プリセットボタンで切り替えられます。日数を増やすと一致確率はわずかに下がり、23人なら366日で約50.6%になります。
計算式を教えてください。
n人の中に同じ誕生日のペアがいる確率は P=1 − 365!/((365−n)!×365^n) で、これは 1 −(365/365)×(364/365)×…×((365−n+1)/365) と同じです。全員がバラバラになる確率（余事象）を求めて1から引いています。本ツールは積の形で計算するため大きな階乗を扱わず正確です。
現実の誕生日でも同じ確率になりますか？
おおよその目安として使えますが、現実には日付ごとに生まれる人数の偏りがあります。偏りがあると一致はやや起こりやすくなるため、実際の確率は理論値より少しだけ高くなる傾向があります。本ツールは『各日が等確率』という理想化した前提での値です。
誕生日以外にも使えますか？
使えます。日数（D）を『等確率で起こりうるパターン数』と読み替えれば、一般の重なり問題に応用できます。たとえばハッシュ値の衝突（誕生日攻撃）の直感的な目安づくりや、抽選・ランダムIDの重複しやすさの見積もりなどに役立ちます。
入力した人数はどこかに送信されますか？
送信されません。計算はすべてお使いのブラウザ内で完結し、入力内容はサーバーに送られません。オフラインでも利用できます。