🔢 素数判定・素数一覧

素数とは、2以上の整数のうち、1と自分自身以外に約数を持たない数のことです。2, 3, 5, 7, 11, 13… と続きます。2は唯一の偶数の素数で、それ以外の偶数はすべて2で割り切れるため素数ではありません。1は素数に含めません（1と自分自身が同じで、約数の定義を満たさないため）。素数でない2以上の整数は「合成数」と呼ばれ、必ず素数の掛け算に分解できます。

本ツールの「素数判定」は、対象の数を小さい素数の候補で順に割ってみる『試し割り』で行います。ある数Nが合成数なら、必ず √N 以下の約数を持つため、√N まで調べれば十分です。たとえば97は、9より大きい素数で割れず（97÷2,3,5,7がいずれも割り切れない）、√97≒9.8なのでそこまで割り切れなければ素数と確定します。実際97は素数です。合成数の場合は素因数分解も同時に表示し、たとえば 360 なら 2^3 × 3^2 × 5 と分解されます。

「素数一覧」は、古代ギリシャの数学者エラトステネスが考えた『エラトステネスの篩（ふるい）』で高速に求めます。2から順に、その倍数を消していくと、消されずに残った数が素数になる、という仕組みです。たとえば1〜100の範囲では、2,3,5,7,11,…,97 の25個の素数が見つかります。1〜20なら 2,3,5,7,11,13,17,19 の8個です。範囲と個数がすぐ分かるので、学習や確認に便利です。

「N番目の素数」は、小さい方から数えてちょうどN番目にあたる素数を返します。1番目は2、2番目は3、3番目は5、…と続き、10番目は29、25番目は97、100番目は541、1000番目は7919です。素数は数が大きくなるほどまばらになりますが、無限に存在すること（素数が有限だと矛盾が生じること）は古くから証明されています。

素数は暗号技術（RSA暗号など）で中心的な役割を果たします。非常に大きな2つの素数を掛け合わせるのは簡単でも、その積を素因数分解して元の素数に戻すのは極めて難しい、という性質が暗号の安全性を支えているためです。本ツールは学習・確認向けに、ブラウザで扱える範囲に上限を設けています（判定は約9×10^15まで、範囲一覧の上限は1000万、N番目は10万番目まで）。桁数が大きすぎる入力は、処理が重くなりすぎないようガードしています。