順列nPr・組合せnCr・階乗n!の違いと計算方法まるわかりガイド
公開日：2026年7月21日 更新日：2026年8月30日 運営：シルギア（Analyzegear, Inc.） 対象ツール：順列・組合せ・階乗
「5人から3人を選ぶ」と一口に言っても、順番まで決めて並べるのか、顔ぶれだけを選ぶのかで答えは変わります。前者が順列、後者が組合せです。公式を覚えていても、数が大きくなると電卓では桁があふれ、正しい値がわからなくなりがちです。このツールは n（全体の数）と r（選ぶ数）を入れるだけで、順列 nPr・組合せ nCr・階乗 n! の3つを同時に計算します。計算はすべてブラウザ内で行うので、入力値が外部に送られることはありません。
順列と組合せの違いは「順序を区別するか」だけ
順列（nPr）は n 個から r 個を取り出して順番をつけて並べる場合の数、組合せ（nCr）は順番を区別せず選ぶだけの場合の数です。判断基準はただ一つ、「並べる順番が違えば別物として数えるかどうか」です。迷ったら、選んだ結果に順位・役割・並び順といった区別が付くかを確かめてください。
- 金・銀・銅のように順位や役割で区別するなら順列 nPr
- 当番・代表・チームのメンバーのように顔ぶれだけを問うなら組合せ nCr
同じ n・r なら順列のほうが必ず多くなります。たとえば5人から3人なら、並べる順列は 5P3＝60通り、選ぶだけの組合せは 5C3＝10通り。順列は組合せのちょうど r!＝3!＝6倍で、この関係が後で出てくる公式の核心になります。
すべての土台になる階乗 n!
階乗 n! は 1 から n までをすべて掛けた値で、n!＝n×(n−1)×…×2×1 と書きます。たとえば 5!＝5×4×3×2×1＝120。これはn人を1列に並べる方法の総数そのものです。1番目に5通り、決まると2番目は残り4通り、次は残り3通り…と掛けていくと、ちょうど 120 になります。
少し不思議なのが 0!＝1 という約束です。「何も並べない並べ方が1通りある」と決めておくと、順列・組合せの公式が例外なく成り立ちます。このツールでも 0!＝1、nC0＝1、nP0＝1 として扱います。r＝n のときは nPn＝n!（全部を並べる総数）、nCn＝1（全部を選ぶ選び方は1通り）です。
公式のなぜ — なぜ割り算が出てくるのか
順列は nPr＝n!÷(n−r)! です。5P3 なら 5!÷2!＝120÷2＝60。全部の並べ方 120 から、選ばれない2人の並べ替え 2!＝2 を打ち消している、と読めます。実際の計算では n から1ずつ小さくして r 個分だけ掛ければ十分で、5×4×3＝60 と直接求まります。
組合せは nCr＝nPr÷r!＝n!÷｛r!×(n−r)!｝ です。順列 60 通りには、同じ3人の並べ替え 3!＝6 通りがダブって含まれているので、6 で割って 5C3＝60÷6＝10 とします。「まず並べて、それから順番違いをまとめ直す」と考えると、なぜ r! で割るのかが腑に落ちます。別の例では 10C2＝(10×9)÷2!＝90÷2＝45 のように、分子は上から r 個、分母は r! と覚えると手計算も速くなります。
ツールの使い方と結果の見方
- 「n（全体の数）」に0以上の整数を入れます（例：5）。
- 「r（選ぶ数）」に 0≤r≤n の整数を入れます（例：3）。
- 入力するたびに自動で nPr・nCr・n! が計算されます。
- 「結果をコピー」で3つの値をまとめて写せます。
メインの大きな数字は組合せ nCr、その下の内訳に順列 nPr と階乗 n! が並びます。「くじ 5→3」「トランプ 52→5」「ロト6 43→6」などのプリセットを押せば代表的な n・r が一度に入り、たとえばロト6は 43C6＝6,096,454通り（1等の当選確率の分母）だとすぐ確かめられます。計算は BigInt なので桁あふれせず正確ですが、階乗は桁数が急激に増えるため n の上限は1000としています。r が n を超えるといった範囲外の入力には、注意メッセージが表示されます。
場面別の使い分けと、つまずきポイント
実際の場面での使い分けを具体例で挙げます。
- くじ・抽選：5本から当たり3本の出方は順序を問わないので 5C3＝10通り。確率計算の分母づくりに使えます。
- チーム分け：6人から3人のチームを選ぶのは 6C3＝20通り（メンバーだけを問う組合せ）。
- 暗証番号・並べ替え：0〜9の数字を重複なく4桁並べるなら 10P4＝10×9×8×7＝5040通り。
よくある失敗は、重複を許す場合に順列を使ってしまうことです。同じ数字を何度でも使える4桁パスワードは 10⁴＝10000通りで、nPr（重複なし）とは別物になります。このツールの nPr・nCr は、いずれも「重複なしで取り出す」場合を数える点に注意してください。もう一つ覚えておくと便利なのが対称性 nCr＝nC(n−r) です。10C8 は 10C2＝45 と同じ値になるので、r が大きいときは n−r に置き換えると、暗算でもぐっと楽に確かめられます。順列と組合せの違いを体感しながら、確率や場合の数の学習にぜひ役立ててください。