🧮 順列・組合せ・階乗

順列（じゅんれつ）と組合せ（くみあわせ）は、「n個のものから r個を取り出す場合の数」を数える計算です。違いは順番を区別するかどうか。順番まで区別して並べるのが順列（nPr）、順番を区別せず選ぶだけなのが組合せ（nCr）です。このツールは n と r を入れるだけで、順列 nPr・組合せ nCr・階乗 n! の3つをまとめて計算します。くじやチーム分け、座席の並べ方、当選確率の分母づくりなどに使えます。

順列（nPr）は、n個から r個を選んで「順番をつけて」並べる場合の数で、nPr = n! ÷ (n−r)! で求めます。実際には n から1つずつ小さくして r個分だけ掛ければ十分です。たとえば5人から3人を選んで1列に並べる方法は 5P3 = 5×4×3 = 60 通り。1番目に5通り、2番目に残り4通り、3番目に残り3通り、と掛け合わせるイメージです。

組合せ（nCr）は、n個から r個を「順番を区別せず」選ぶ場合の数で、nCr = n! ÷ ｛r! ×(n−r)!｝ で求めます。順列のうち、同じ顔ぶれの並べ替え（r!通り）を1つにまとめたものが組合せなので、nCr = nPr ÷ r! の関係が成り立ちます。たとえば5人から3人のグループを作る方法は 5C3 = 5P3 ÷ 3! = 60 ÷ 6 = 10 通り。なお nCr = nC(n−r) という対称性があり、5C3 と 5C2 はどちらも10です。

階乗（n!）は 1 から n までのすべての整数を掛けた値で、n! = n×(n−1)×…×2×1 です。たとえば 5! = 5×4×3×2×1 = 120。n人を1列に並べる方法の総数がちょうど n! になります。0! は「何も並べない並べ方が1通り」という約束のもと 1 と定め、これにより順列・組合せの公式が破綻なく成り立ちます。

計算はすべてブラウザ内のJavaScript BigIntで行うため、桁の大きな結果でも桁あふれせず正確に求められ、入力値が外部に送信されることもありません。極端に大きな n は処理に時間がかかるため、上限を n ≤ 1000 としています。また r は 0 以上 n 以下である必要があり、範囲外を入れると注意が表示されます。